منبع : gisworld

مدل رقومی زمین (DTM) در شش بخش

نقل قول :

 ابتدا یه سری بحث های مقدماتی و تئوری و بعدا کارکردن با DTM در ARcGIS

بخش چهارم

4 – درونیابی (انترپولاسیون)

  – درونیابی (انترپولاسیون)

انترپولاسیون تکنیک پایهای در DTM هست چرا که در مراحل مختلفی از فرایند مدلسازی زمین شامل می شود مثل : دقت، آنالیز، زمین،کاربرد،کنترل کیفیت ،ارزیابی، بازسازی سطح

با معیار سایز منطقه ای برا ی انترپولاسیون ، دو روش مشخص شده است :

area based , point based

در روش area based سطح با استفاده از همه نقاط مرجع (معلوم) در سطح بنا می شود و ارتفاع هر نقطه در این سطح با استفاده از سطح بنا شده ، بدست می آید . این روش می توانند هم global,هم local باشد .

Global interpolation شامل بنای یک سطح 3D پیچیده از همه داده های نقاط اندازه گیری شده است و مقدار ارتفاع برای سایر نقاط با استفاده از این سطح بدست می آید. سودمندی این روش به پیچیدگی سطح زمین و سایز واقعی سطح وابسته است. یک روش مناسب تر تقسیم کردن سطح به مجموعه ای از patch ها با شکل و سایز یکسان (identical) است که این روش local or patchwise interpolation می گویند.

bilinear یک گرید مربعی که تشکیل می دهد. و می تواند برای هر 4 نقطه ( که در طول یک خط نیستند) اجرا شود .

z=a0+a1*x+a2*y+a3*x*y

یک مسئله می تواندdeterministic و یا probabilistic باشد. یک تابع deterministic برای مسائل deterministic و یک stochastic model برای مسائل probabilistic استفاده می شود.

اتنرپولاسیون می تواند در space domain و یا در spectral domain صورت گیرد . اغلب تکنیک های انترپولاسیون برای terrain modeling برای spatial interpolation هستند. با این حال این امکان وجود دارد که داده را به فضای فرکانس انتقال دهیم و در آنجا انترپولاسیون را انجام دهیم.

درونیابی چند لایه ای (Hardy Method) :

ا 

Area Based Exact Fitting of Curved Surface

Bilinear interpolation به طور وسیعی در انترپولاسیون DTM استفاده می شوند چرا که هم ساده هستند و هم شهودی (intutive) اما سطح نتیجه smooth نیست . برای اینکه سطح حاصل () باشد، یک سطح پلی نومیال به مجموعه ای از سطوح linear همسایه فیت می شوند.

روش دیگر ، exact fitting برای سطوح curved ممکن هست . مثل توابع bicubic spline

Bicubic Spline Interpolation:

برای غلبه بر نقص توابع bilinear ، توابع bicubic spline برای ساختن یک سطح smooth DTM روی یک DTM شامل 4 نقطه گرید استفاده می شود

Z=f(x,y)=∑∑a_ij xⁱ * y^j

16 ضریب باید مشخص شود. 12 معادله دیگر از شرایط connection بین patch ها بدست می آید.

1- slope در هر node ای (join بین patch های همسایه ) باید در هر دو جهت x,y پیوسته باشد.

2- torque از join بین patches adjacent نیز بایدcontinuos باشد.

Searching For neighbor Points :

نقطه همسایه باید به نقطه انترپوله نزدیک باشند. فاصله به عنوان یک معیار می تواند مورد استفاده قرار گیرد. یک دایره و یا مستطیل حول نقطه انترپوله کشیده شود و همه نقاط در این محدوده انتخاب شوند.و اگر تعداد نقاط زیادی در این محدوده انتخاب شوند. پس تعدادی خاص مورد بررسی قرار می گیرند مثلا 6 نقطه نزدیک انتخاب می شود در انتخاب بر حسب تعداد نقاط (حالت دوم ) ، وقتی اغلب نقاط در یک جهت خاص انتخاب شوند می تواند مشکل ایجاد کند. مثل شکل های صفحه 129 کتاب

یک راه حل این است که به point distribution توجه کنیم، یعنی اینکه نقاط را به 4 و یا 8 گروه تقسیم کنیم ( در جهات مختلف ) و تعدادی مشخص نقطه در هر sector انتخاب کنیم.

روش دیگر که مشابه ایده partitioning هست، این است که یک voronoi diagram برای نقاط داده ایجاد کنیم و سپس نقاطی که voronoi diagram آنها مرز مشترک باvoronoi region نقطه انترپوله دارد، برای انترپولاسیون انتخاب شوند. البته بحث پیش می آید که اگر ما voronoi diagram مجموعه نقاط را بنا کرده ایم چرا که نباید انترپولاسیون را روی شبکه مثلثی انجام دهیم .

Determination of weighting Function :

ایده اصلی دادن وزن به نقاط رفرنس بررسی اثر آن نقاط روی نقطه انترپوله هست. تابع distanceاستفاده می شود . هر چه فاصله کوچک تر باشد، وزن بیشتر است. این معلوم است که هر چه نقاط به هم نزدیک تر باشند شباهت آنها بیشتر است و بالعکس در روش moving average معمولا تابع مرتبط با فاصله پذیرفته می شود. wi وزن برای نقاط رفرنس R شعاع دایره ، d_i فاصله نقطه رفرنس از نقطه انترپوله k ثابت.

* روش جایگزینی آن است که وزن یک تابع از سطح باشد بجای تابعی ازفاصله .

Voronoi region هر نقطه رفرنس می تواند مورد استفاده قرارگیرد برای بنا کردن تابع وزن.

میزان مساحت stolenمی تواند به عنوان وزن در انترپولاسیون مورد استفاده قرار گیرد.

Point-Based Moving Surfaces:

در moving average ، مقدار متوسط تعدادی نقاط همسایه برای نقطه انترپوله بکار می رفت در واقع با moving average یک moving surface تولید می شود. انواع مختلفی از سطوح می توانند برای point besed interpolation تولید شوند.

Principle of Moving Surfaces:

برای یک مجموعه داده، انواع مختلفی از سطح می تواند تولید شود. حالت اول اگر ارتفاع نقطه رفرنس که نزدیک ترین به نقطه انترپوله هست به نقطه انترپوله داده شود، این nearest neighbor interpolation نام دارد (اگر چه که هیچ انترپولاسیون د رواقع صورت نگرفته ) این مورد یک صفحه افقی با استفاده از deterministic function ایجاد می شود.

If d_i=min(d₁,d₂,…..,d_i,……,d_n)

Point-Based Moving average:

در یخش قبل، روشهایarea based معرفی شد.

The principle of point Based moving average:

یک روش انترپولاسیونpoint based عبارت است ازmoving average که به عنوانsmoothing method مطرح می شود.

تکنیک معمول درDTM:

روش moving average برای انترپوله کردن یک نقطه با استفاده از تعداد نقاط رفرنس در نزدیک آن صورت می گیرد. بیان ریاضی به صورت زیر است :Z=∑z_i / n

n تعداد کل نقاط رفرنس برای .average

z_i ارتفاعi امین نقطه رفرنس یک averaging simple است یعنی اینکه اهمیتی ندارد که چقدر نقاط رفرنس به نقطه انترپوله نزدیک باشند ، وزن برای همه نقاط یکسان است . وزن های مساوی به نظر منصفانه نمی آید (weighted moving average)

دو مسئله مطرح می شود1- کدام نقاط باید به عنوان نقطه رفرنس برای نقطه انترپوله در نظر گرفته شوند 2- چگونه به نقاط رفرنس وزن دهیم.

.

Least Square Fitting of a local surface:

possibilityهای زیادی برایbest fitting وابسته به تعریفbest وجود دارد. یک تعریف ساده میتواند به صورتsum of the absolute value of the errors is at a minimum باشد. تعریف مشهور دیگر است که به روش حداقل مربعات (که به طور وسیعی در تئوری خطا ها استفاده می شود) راهنمایی می کند.

بیان ریاضی در تعریف فوق:=mine_i²=min, ∑?e_i?∑

e_i:انحراف نقطه رفرنسiام ازfitting surface وn تعداد کل نقاط رفرنس برای یک مجموعه نقاط رفرنس و یکfitting function شمار زیادیfitting وجود دارد (deviation در نقاط رفرنس از سطوحfitted به عنوانresidual در تئوری خطا مطرح هست )

به طور تابع های زیر مورد استفاده برایcurved surface fitting هستند :

1- پلی نومیالsecond order2- پلی نومیالthird order3- توابعbi cubic

پست های مرتبط: